К осени 1943 года младший сержант Михаил Елесин командовал отделением 42-го стрелкового полка 180-й стрелковой дивизии 38-й армии Воронежского фронта.
6 сентября 1943 года во время боя за деревню Иваницкое Сумской области Елесин прорвался во вражескую траншею и в рукопашной схватке уничтожил около 10 солдат противника, а затем, преследуя отходящие вражеские части, забросал гранатами дом, в котором находились немецкие автоматчики. Также отделение Елесина приняло активное участие в боях за освобождение сёл Смелое и Великие Бубны Роменского района. В конце сентября 1943 года оно вышло к Днепру к северу от Киева. 7 октября 1943 года отделение Елесина переправилось через Днепр в районе села Лютеж Вышгородского района Киевской области. 10 октября 1943 года в районе села Новые Петровцы Елесин принимал активное участие в захвате высоты 141,4 и отражении контратак противника, уничтожив большое количество вражеских солдат и офицеров.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 октября 1943 года за «мужество и героизм, проявленные при форсировании Днепра и в боях на плацдарме» младший сержант Михаил Елесин был удостоен высокого звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» за номером 4500.
Участвовал в освобождении Киева, Корсунь-Шевченковском, Уманско-Ботошанской операциях, освобождении Молдавской ССР, Румынии, Венгрии, Австрии, Чехословакии. В августе 1945 года Елесин был демобилизован. Вернулся на родину. Умер 10 июня 1952 года, похоронен на Булыгинском кладбище Барнаула.
Был также награждён рядом медалей.
В честь Елесина назван переулок в Ельцовке, установлен памятник в Барнауле.